Question

用极坐标求二重积分∫∫|xy|dσ,D:x^2+y^2≤2x

用极坐标求二重积分∫∫|xy|dσ,D:x^2+y^2≤2x
答案是4/3,我算到的是4，求指导，无限感激

Answer 1

你做的不对，注意用极坐标时要写出r和a的范围（我用a表示角度theta），你的r的范围不对。
本题中，边界线方程为x^2+y^2=2x，用极坐标表示为r^2=2rcosa，即r=2cosa，于是
0<=r<=2cosa，显然有2cosa>=0的要求，故a位于【--pi/2到pi/2】
因此积分等于
=积分（从--pi/2到pi/2）da 积分（从0到2cosa）|r^3sin2a/2|dr。
计算时注意对称性，a从--pi/2到0的积分和从0到pi/2的积分是相等的，因此
=2积分（从0到pi/2）(sin2a)/2da 积分（从0到2cosa）r^3dr
=8积分（从0到pi/2）sina *cos^5a da
=4/3。

Answer 2

解：用极坐标代换，则积分区域为：-π/2《θ《π/2，0《r《2cosθ
所以：∫∫|xy|dσ=∫∫ r^3|sinθcosθ|drdθ=∫ |sinθcosθ|dθ ∫r^3dr=4∫[-π/2,π/2] |sinθcosθ|(cosθ)^4dθ
=8∫[0,π/2]sinθ(cosθ)^5dθ =8/6=4/3
知道错在什么地方？0《r《2cosθ！！！