Question

高等数学（求收敛）

如图

Answer 1

解：设f(x)=∑x^(n+1)/(n+1)，n从1到∞，逐项求导得：
f'(x)=∑x^(n)=x/(1-x) |x|<1
所以：f(x)=-ln(1-x)-x。
当x=1时，级数发散；当x=-1，级数收敛
故：f(x)=-ln(1-x)-x， -1《x<1

追问

x^(n+1)/(n+1)与x^n/(n+1)的收敛域是一样的？？？？？？

追答

幂级数有个性质：逐项积分和逐项微分后，收敛半径相同。收敛域涉及端点

追问

逐项积分和逐项微分后，收敛半径相同？？？？
那∑x^(n+1)/(n+1)逐项微分后成了∑x^n。。。这两个收敛半径相同？

追答

对呀，就是这样，上述题目中所有的收敛半径都是1.∑x^n是等比级数， |x|<1时收敛

Answer 2

令f(x)=所求级数，则
f'(x)=求和（n=1到无穷）x^n=x/(1--x)=--1+1/(1--x)。
于是f(x)=积分（从0到x）f'(t)dt+f(0)
=--x--ln(1--x) --1<x<1。

追问

请问这是怎么来的x^n=x/(1-x)？？？？？没有说x<1啊

追答

等比级数，一开始就应该判断级数的收敛域是--1<=x<1。

追问

x^(n+1)/(n+1)与x^n/(n+1)的收敛域是一样的？？？？？？

追答

一样，收敛半径都是1，在边界x=1处都不收敛，在x=--1都是Leibiniz级数，收敛。