Question

设D是由直线y=-x,y=1.x=1所围成的平面区域,则二重积分xln(y+√1+y²)dxdy

Answer 1

记 f(y)=ln[y+√(1+y^2)],
则 f(-y)=ln[-y+√(1+y^2)]
= ln{[-y+√(1+y^2)][y+√(1+y^2)]/[y+√(1+y^2)]}
= ln{1/[y+√(1+y^2)]} = -ln[y+√(1+y^2)] = -f(y),
f(y)为奇函数。
记 O（0，0）， A（-1，1）， B（1，-1）， C（1，1）。
则积分域 D 是△ABC。连接 OC， 记 D1：△OAC， D2：△OBC。
D1：△OAC 关于 y 轴对称， 积分函数 xln[y+√(1+^2)] 是 x 的奇函数，积分为0；
D2：△OBC 关于 x 轴对称， 积分函数 xln[y+√(1+^2)] 是 y 的奇函数，积分为0。
故本题积分为零。