Question

四面体ABCD中，AB=BC，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，且△EFG为正三角形，AG⊥平面BCD。

Answer 1

∵ H是正△EFG顶点E在底面的投影，FH=HG=BH
∴ ∠BFG=∠DBC=90°
E是RT△ABG斜边上的中点，
EG=AB/2 , 又因EG=FG=EF, FG=BD/2, EF=AC/2
∴ BC=BD=AB=AC，△CBD是等腰直角三角形
BG=(√2/2)BC
cos∠ABG=√2/2
∠ABG=45°, G是A在平面BCD的投影
AB与平面BCD所成角的大小45°

过BG中点H，连接EH；过FG中点M，连接EM
∵ EH是△ABG中位线
∴ EH⊥平面BCD，且EH=AG/2 =(√2/4)BC
EM=(√3/2)FG=(√3/4)BD
sin∠EMH=EH/EM=√(2/3)
二面角E-FG-C是arcsin√(2/3)，且大于90°

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