Question

已知函数f(x)=ax²+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]，则 A,a=1/3

已知函数f(x)=ax²+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]，则
A,a=1/3,b=0 B a=-1,b=0 C a=1,b=0 D a=3 b=0
请说明原因，为什么b要等于0呢?

Answer 1

函数是偶函数，定义域关于原点对称。
a-1=-2a
3a=1
a=1/3
f(-x)=f(x)
a(-x)²+b(-x)+3a+b=ax²+bx+3a+b
bx=0
要对于任意实数x，等式恒成立，b=0
综上，得a=1/3，b=0

知识点：
1、无论是奇函数还是偶函数，首先的要素是定义域关于原点对称。这一要素也是判断一个函数是奇函数、偶函数还是非奇非偶函数时首先要判定的。如果定义域不关于原点对称，不需要再进一步判断，直接确定是非奇非偶函数。定义域关于原点对称时，才进行进一步的判断。
2、奇函数、偶函数的判定。在第1条的前提下：
f(-x)=-f(x)，函数是奇函数，逆向同样成立，即函数是奇函数，f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)，函数是偶函数，逆向同样成立，即函数是偶函数，f(x)=f(-x)

Answer 2

“定义域应关于原点对称”则有a-1=-2a，又f(-x)=f(x)恒成立，用待定系数法可求得b.
解答:解:∵定义域应关于原点对称，
故有a-1=-2a，
得a=1/3 .
又∵f(-x)=f(x)恒成立，
即:ax2+bx+3a+b=ax2-bx+3a+b
∴b=0.

Answer 3

已知函数f（x）＝ax²＋bx＋3a＋b是偶函数且定义域［a－1,2a］则a＝?b＝?
解由函数f（x）＝ax^2＋bx＋3a＋b是偶函数且定义域［a－1,2a］
则a-1+2a=0
即a=1/3
故函数为f（x）＝1/3x^2＋bx＋1＋b
又由该函数是偶函数,故b=1
即a=1/3,b=1

Answer 4

 

Answer 5