Question

一道利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目

被积项是（2xdydz+yzdzdx-z^2dxdy），S是由锥面z=(x^2+y^2)的二分之一次方 与半球面z=(2-x^2-y^2)的二分之一次方 所围成的区域边界曲面的外侧。

Answer 1

解：令P=2x，Q=yz，R=-z²
∵αP/αx=2，αQ/αy=z，αR/αz=-2z
∴根据高斯公式得
原式=∫∫∫<V>(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz (V是S围城的空间区域)
=∫∫∫<V>(2-z)dxdydz
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<r,√(2-r²)>(2-z)dz (应用柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr
=2π[(-2/3)(2-r²)^(3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│<0,1>
=2π(-1/2-2/3+1/4+2/3)
=-π/2。

Answer 2

解：令P=2x，Q=yz，R=-z²
∵αP/αx=2，αQ/αy=z，αR/αz=-2z
∴根据高斯公式得
原式=∫∫∫
(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
(V是S围城的空间区域)
=∫∫∫
(2-z)dxdydz
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫
(2-z)dz
(应用柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr
=2π[(-2/3)(2-r²)^(3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│<0,1>
=2π(-1/2-2/3+1/4+2/3)
=-π/2。