Question

设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x-y）=f（x）-f（y），且f（2）＝1

设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x-y）=f（x）-f（y），且f（2）＝1，当x＞0时，f（x）＜0。
①求f（0）的值
②如果f（x）＋f（x＋2）＜2，求x的取值范围

Answer 1

1)令x=2,y=0得
f(2-0)=f(2)-f(0),
f(0)=0
2)x<0,则-x>0,设x<0,时有,x2>x1,x2-x1>0,f（x2-x1）＜0
f（-x）＜0

f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-f[（x2-x1）-f（x1）=-f[（x2-x1）>0
即f（x1）>f（x2）,而,x2>x1
f（x）函数是减函数
f（2）=f（4-2）=f（4）-f（2）

f（4）=2f（2）=2
f（x）＋f（x＋2）＜2

f（x）＋f（x＋2）＜f（4）

f（x＋2）<f（4）-f（x）
f（x＋2）<f（4-x）
x＋2>4-x
x>1

Answer 2

(1)令x=y=0,得f(0)=0
(2)f（x-y）=f（x）-f（y），令x=4,y=2,得f(2)=f(4)-f(2),所以f(x)=2
令x=x1,y=x2,且x1>x2，所以f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)>0，所以函数单调递增
f（x）＋f（x＋2）＜2=f(4),即f(x+2)<f(4)-f(x)=f(4-x),
所以x+2<4-x,得x<1