Question

如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线，求证AE=EF

Answer 1

（1）∵在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，
∴BM=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°；

（2）证明：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，
∵点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠MAE=∠FEC，EC=AM，
∴△AME≌△CEF，
∴AE=EF；

（3）证明：在线段AB上取AB边上的点N，连接NE，则AN=EC，
∵点E是边BC边上的点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠ANE=90°+45°=135°，
∴∠ECF=∠ANE=135°，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠NAE=∠FEC，EC=AN，∠ECF=∠ANE=135°，
∴△ANE≌△CEF，
∴AE=EF．