Question

关于间断点和泰勒公式的一道题，请大神详细解答，谢谢~

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Answer 1

你好，变形到泰勒公式那一步你看得懂吗，到那一步之后就是直接展开式子，分母中比sin²x高次的项作为其高阶无穷小消去了，剩下的是低阶无穷小和同阶无穷小，就得到了你要问的那个式子。

追问

大神，请再指点一下怎样变形到泰勒公式那一步的。我感觉是把sinx+sinx^2看成一个整体，可后面为什么不是o(sinx+sinx^2)而直接是o(sinx^2)呢？

追答

你这种想法是对的，就是把sinx+sinx^2看做一个整体。不过你有个地方犯了错，应该是(sinx+sinx^2)^2的高阶无穷小，即o(sinx+sinx^2)^2，而不是o(sinx+sinx^2)，因为你已经展开到第二项了，而o(sinx+sinx^2)^2即是o(sinx^2)，好好想想，是不是？

追问

“o(sinx+sinx^2)^2即是o(sinx^2)”应该怎样理解呀？请大神再详细指点一下，谢谢啦O(∩_∩)O~

追答

对于这种判断多项式的无穷小的阶数，一般都是看指数最小值是多少。比如x+x^2的话，就看最小指数是1，所以其与x同阶，对于此题，你将括号里面的式子展开，里面sinx的最小指数是不是2？所以其与sinx^2同阶，即有o(sinx+sinx^2)^2即是o(sinx^2)。

Answer 2

因为x=0是可去性间断点，所以该点极限存在，也就是有限
那么最后计算β的那个表达式中，由于sinx前面有系数，而分母为sin^2x，是sinx的高阶无穷小，要使得极限存在，则sinx前面关于β的系数必须为0才行，所以β=1/2

Answer 3

当x趋于0求极限时，分子和分母起决定性作用的项其实就是Taylor展式中次数最低的项，分母是正弦的平方，正弦的展式中次数最低的是一次项，因此分母就是x^2的级别，所以分子中凡是次数高于x^2的项其实都是不起作用的，全部可以扔掉，本题就是将(sinx)^2以上的项全部扔掉了，由于扔掉的项全是x^2以上次数的，因此对极限没有影响。

Answer 4

最后结果是f(x)=1/4不是3/8

追问

额，大神看错题了吧？