关于曲面积分~

∫∫s(xy+yz+zx)ds,其中s为锥面z=(x^2+y^2)^(1/2)被柱面x^2+y^2=2ax所截的部分。... ∫∫s(xy+yz+zx)ds,其中s为锥面z=(x^2+y^2)^(1/2)被柱面x^2+y^2=2ax所截的部分。 展开
heanmen
2012-05-29 · TA获得超过1.7万个赞
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解:∵αz/αx=x/√(x²+y²),αz/αy=y/√(x²+y²)
∴ds=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy
=√2dxdy
故 原式=∫∫<s>(xy+yz+zx)√2dxdy
=√2∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,2acosθ>(r²sinθcosθ+r²sinθ+r²cosθ)rdr (做极坐标变换)
=4√2a^4∫<-π/2,π/2>(sinθcosθ+sinθ+cosθ)(cosθ)^4dθ
=4√2a^4∫<-π/2,π/2>[((cosθ)^5+(cosθ)^4)sinθ+(1-2sin²θ+(sinθ)^4)cosθ]dθ
=(4√2a^4)*[2(1-2/3+1/5)]
=64√2a^4/15。
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