Question

数学问题，在线等解法！！

已知,如图,三角形ABC为等腰三角形,∠ACB=90°,延长BA到点E,延长AB到点F,使∠ECF=135°。求证：三角形EAC∽三角形CBF
若CM⊥AB于点M,求证，AM·AB=AE·BF
图

Answer 1

第一个证明：
∠CAB=∠CBA=45°
∴∠CAE=∠CBF=135°
∴∠BCF+∠BFC=180°-135°=45°（1）
又∠ECF=135°，∠ACB=90°
∴∠BCF+∠ACE=135°-90°=45°（2）
由（1）（2）得：
∠BFC=∠ACE
∴△EAC∽△CBF
第二个证明：
由第一个证明得
BF/AC=EA/CB
∴BF*EA=AC*CB=AC²
在直角三角形ABC中，CM⊥AB，∴由射影定理得：AC²=AM*AB
∴AM*AB=BF*AE∴

Answer 2

∵三角形ABC为等腰三角形,∠ACB=90°
∴CA=CB 且∠CAB=∠CBA=45°
则∠EAC=∠CBF=135°
在△FEC中，由于∠ECF=135°
∴∠E+∠F=45°
在△EAC中，由于∠EAC=135°
∴∠E+∠ECA=45°
∴∠F=∠ECA
同样可证：∠E=∠FCB
则在△EAC和△CBF中，三个内角分别对应相等，即△EAC∽△CBF

Answer 3

请注意：题目欠严谨。
“延长BA到E，延长AB到F，使∠ECF＝135º ”应将E、F准确定位。
否则，尽管满足∠ECF＝135º，却未必能确证△EAC≌△CBF。
是不是漏写了条件？

追问

没有

追答

找老师，不能马虎。
试想，随便设E、F的位置，只满足∠ECF＝135º，能保证△EAC≌△CBF吗？画画看。
什么参考书的题，误人子弟哦。

Answer 4

首先，兄弟你画的图可以稍微再准确一点点的。
第一问解法如下：因为∠ECF=135度，
所以∠ECA+∠BCF=∠ECF-∠ACB=45度,
而又有∠E+∠ECA=∠CAB=45度，
得∠BCF=∠E，
同理得∠ECA=∠F，
又∠EAC=∠CBF,
所以三角形EAC∽三角形CBF。

第二问：
根据上问证出的三角形EAC∽三角形CBF，得AE·BF=AC·CB=AC平方，
而AM=AB/2，即AM·AB=AB平方/2，
又因为AB=根号2·AC
AM·AB=AC平方=AE·BF。