Question

设点P(x,y)是圆(x-3)^2 +y^2=1上的点，则y/x的最小值是

Answer 1

设y/x=t, 1/x=u
则原的方程演变为：
(1-3u)²+t²=u²
t²=-8u²+6u-1=-8(u-3/8)²+9/8-1=-8(u-3/8)²+1/8≤1/8
当u=3/8时取最大值，x的取值在2到4之间，u的范围在1/4与1/2之间。3/8在范围内。
∴t²最大值为1/8,t的最小值为-√2/4 （1/8取根号再取负）

Answer 2

用数形结合法，y/x的值就是通过原点和圆上的点(x,y)的直线的斜率，画出图像，显然直线与圆相切时下边切线斜率最小为
-√2/4

Answer 3

(x-3)^2+y^2=4
令y/x=k
y=kx,代入圆
x^2-6x+9+k^2x^2=4
(k^2+1)x^2-6x+5=0
这个方程有解必须
36-20(k^2+1)>=0
-20k^2+16>=0
k^2<=4/5
-2√5/5<=k<=2√5/5
所以-2√5/5<=y/x<=2√5/5