Question

抛物线y^2=2px的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足角AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线

准线的垂线MN，垂足为N，则MN/AB的最大值

Answer 1

设AF=a，BF=b，
由抛物线定义，2MN=a+b．
而余弦定理，AB^2=a2+b2-2abcos120°=（a+b）^2-ab，
再由a+b≥2 √（ab）
得到|AB|≥(√3/2)(a+b)
所以MN/AB的最大值是√3/3

Answer 2

F(0.5p,0)
A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb)
M(pa^2+pb^2,pa+pb)
k(AF)=2a/(2a^2-0.5),k(BF)=2b/(2b^2-0.5)
[k(AF)-k(BF)]/[1+k(AF)*k(BF)]=- √3
a-b=√3*(4a^2^b^2-a^2-b^2+4ab+0.25)......(1)
AB^2=4p^2*(a-b)^2*(a^2+b^2+2ab+1)
MN^2=p^2*(a^2+b^2+0.5)
d^2=MN^2/AB^2=p^2*(a^2+b^2+0.5)^2/[4p^2*(a-b)^2*(a^2+b^2+2ab+1)]
a=b,MN/AB有最大值
|MN|=|AF|
(|AB|/2)/|AF|=√3/2
(|MN|/|AB|)max=1/√3