Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 =2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 =2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么 OA ? OB =3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y 2 =2x于点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）． 当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3， 此时，直线l与抛物线相交于点A（3， 6 ）、B（3，- 6 ）． ∴ OA ? OB =3； 当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0， 由 y 2 =2x y=k(x-3) 得ky 2 -2y-6k=0?y 1 y 2 =-6 又∵ x 1 = 1 2 y 1 2 ， x 2 = 1 2 y 2 2 ， ∴ OA ? OB = x 1 x 2 + y 1 y 2 = 1 4 ( y 1 y 2 ) 2 + y 1 y 2 =3 ， 综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么 OA ? OB =3”是真命题； （2）逆命题是：设直线l交抛物线y 2 =2x于A、B两点， 如果 OA ? OB =3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题． 例如：取抛物线上的点A（2，2），B（ 1 2 ，1）， 此时 OA ? OB =3， 直线AB的方程为： y= 2 3 (x+1) ，而T（3，0）不在直线AB上； 说明：由抛物线y 2 =2x上的点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）满足 OA ? OB =3，可得y 1 y 2 =-6， 或y 1 y 2 =2，如果y 1 y 2 =-6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y 1 y 2 =2，可证得直线 AB过点（-1，0），而不过点（3，0）．