Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=10，求△BDE的周长。

Answer 1

AD平分∠BAC，∠DAC=∠DAE
∠C=∠AED=90
AD=AD
所以△ACD≌△AED。CD=DE，AC=AE=BC
△BDE周长为
BD+DE+BE
=BD+CD+BE
=BC+BE
=AC+BE=AB
所以周长为10

Answer 2

因为AD平分∠CAB，所以∠CAD=∠DAE，而∠C=∠DEA=90°，AD=AD，所以△CAD=△EAD（符号打不出来），所以CD=DE
又因为△ABC为等腰三角形，所以∠B=45°，所以BE=DE，BD=√2DE=√2DE=√2CD
而AC=√2/2*AB=5√2 = BC = CD+BD = CD+√2CD=(1+√2)CD
所以CD=5√2 /(1+√2) = 10-5√2
△BDE的周长= BD+DE+BD = 2DE+√2DE = (2+√2)(10-5√2) = 10

Answer 3

∵AD是∠CAB的平分线
∴∠CAD=∠BAD
,∵∠ACB与∠DEA为直角，AD=AD
∴△ACD≌△AED
∵RT△ACB是等腰直角三角形，AB=10
∴AC=BC=5√2（勾股定理），∠CBA=45°
∴AE=AC=5√2，△BED是等腰直角三角形
∴BE=DE=10-5√2,
∴BD=√2BE=√2(10-5√2)=10√2-10
三角形BDE的周长C=BD+BE+DE=10√2-10+2(10-5√2)=10