Question

已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（

已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22=5，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

（1）证明：△=（m+3）²-4（m+1）=m²+6m+9-4m-4=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，
∴（m+1）²+4＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵这个方程的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁?x₂=m+1，
而x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁?x₂=5，
∴（m+3）²-2（m+1）=5，
∴m²-4m+2=0，
解得∴m=-2+

2

或-2-

2

．
当m=-2+

2

时，
x²+（1+

2

）x+

2

-1=0．
解得x₁=

? 2 ?1+ 7?2 2

2

，x₂=