Question

已知数列{an}是首项为a等于1且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（1）

已知数列{an}是首项为a等于1且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（1） 求和 Tn=a1+a4+a7+…+a3n-2；（2） 证明 12S3，S6，S12-S6成等比数列．

Answer 1

由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，
得4a₇=a₁+3a₄，即4aq⁶=a+3aq³．
变形得（4q³+1）（q³-1）=0，所以q3＝?

1

4

，或q³=1（舍去）．
（1）T_n=a₁+a₄+a₇++a_3n-2
=1+q3+q6++q3n?3＝

1?q3n

1?q3

＝

4

5

[1?(?

1

4

)n]；
（2）由

S6

12S3

＝

a1(1?q6) 1?q

12a1(1?q3) 1?q

＝

1+q3

12

＝

1

16

．

S12?S6

S6

＝

S12

S6

?1＝

a1(1?q12) 1?q

a1(1?q6) 1?q

?1
=1+q6?1＝q6＝

1

16

＝

S6

12S3

，
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．