Question

如图，点C为圆上一点，⊙O直径AB为10cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）若弦AC为6cm，求BC、AD的长．（2）

如图，点C为圆上一点，⊙O直径AB为10cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）若弦AC为6cm，求BC、AD的长．（2）当点C在⊙O上运动时，试判断点D是否随着点C的变化而变化？若改变，设AC=x，AD=y，请建立y与x的关系式；若不变，请说明理由．

Answer 1

（1）连接OD，如图所示．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，AC=6，
∴BC=8．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠AOD=2∠ACD=90°，∠BOD=2∠BCD=90°．
在Rt△AOD中，
AD=

AO2+OD2

=

52+52

=5

2

．
∴BC的长为8cm、AD的长为5

2

cm．

（2）当点C在上半圆上运动时，点D不变，在下半圆的中点．
理由如下：
∵∠AOD=∠BOD=90°（已证），
∴

AD

=

BD

．
∴点D是下半圆的中点．