Question

已知函数f（x）=lnx， g(x)= 1 2 x 2 ，（I）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（a＞0），若F（

已知函数f（x）=lnx， g(x)= 1 2 x 2 ，（I）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值范围；（II）若x 1 ＞x 2 ＞0，总有m[g（x 1 ）-g（x 2 ）]＞x 1 f（x 1 ）-x 2 f（x 2 ）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）F（x）=ag（x）-f（x）= 1 2 ax 2 -lnx， F′（x）=ax- 1 x = a x 2 -1 x    （x＞0） ∴函数F（x）在（0， 1 a ）上为减函数，在（ 1 a ，+∞）上为增函数 若F（x）没有零点，须且只须F（ 1 a ）＞0， 即 1 2a + 1 2 lna＞0，即 1 a +lna＞ 0 设g（a）= 1 a +lna ，∵g′（a）= a-1 a 2 ∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0 ∴g（a）＞0，即当a＞0时， 1 a +lna＞ 0恒成立 故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞） （II）若x 1 ＞x 2 ＞0，总有m[g（x 1 ）-g（x 2 ）]＞x 1 f（x 1 ）-x 2 f（x 2 ）成立， 即若x 1 ＞x 2 ＞0，总有mg（x 1 ）-x 1 f（x 1 ）＞mg（x 2 ）-x 2 f（x 2 ）成立， 即函数h（x）=mg（x）-xf（x）= 1 2 mx 2 -xlnx，在（0，+∞）上为增函数， 即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立 即m≥ lnx+1 x 在（0，+∞）上恒成立 设G（x）= lnx+1 x ，则G′（x）= -lnx x 2 ∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数， ∴G（x）≤G（1）=1 ∴m≥1