Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2

（1）设函数h(x)=2g(x)-f(x),求h(x)的极小值 （2）设函数F（x)=ag(x)-f(x) , (a>0), 若F(x)>0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=lnx，g(x)=(1/2)x²；（1）设函数h(x)=2g(x)-f(x),求h(x)的极小值 ；（2）设函数F（x)=ag(x)-f(x) , (a>0), 若F(x)>0恒成立，求实数a的取值范围

解：(1)。h(x)=x²-lnx；定义域：x>0；
令h'(x)=2x-1/x=(2x²-1)/x=0，得2x²-1=0，故得极小点x=√(1/2)；
于是得极小值h(x)=h[√(1/2)]=1/2-ln[√(1/2)]=1/2+(1/2)ln2=(1/2)(1+ln2)；
(2)。F(x)=(a/2)x²-lnx>0在x>0时恒成立，只需在x>0时F(x)的最小值>0就可以了。为求出F(x)的最小值，令F'(x)=ax-(1/x)=(ax²-1)/x=a(x²-1/a)=a[x+√(1/a)][x-√(1/a)]/x=0，得极小点x=√(1/a)；故F(x)的极小值=F[√(1/a)]=1/2+(1/2)lna=(1/2)(1+lna)>0，得lna>-1，a>1/e；即1/e<a<+∞就是a的取值范围。

Answer 2

（1）设函数h(x)=2g(x)-f(x),则 h'(x)=2g'(x)-f'(x)=2x-1/x=0

=>x=√2/2
∵h''(x)=1+1/x²

∴h''(√2/2)=3/2>0

x=√2/2为极小值点。

∴h(x)的极小值为：h(√2/2)=1/2-ln(√2/2)

(2)函数F（x)=ag(x)-f(x) , (a>0),
∵F'（x)=ag'(x)-f'(x)=ax-1/x=(ax²-1)/x=0

=>x=√a/a
若F(x)>0恒成立
则x=√a/a为F(x)的最小值。
=>F（√a/a)=ag(x)-f(x)=1/2(1-lna)>0
=>0<a<e

Answer 3

（1）对h(x)求导，令h'(x)=0得到此时x取值 代入使h"(x)＞0的x即为所求，此时h(x)取极小值
（2）讨论当a＞0时 a＜0时分别对F（x）求导 ，求出其最小值是最小值大于0即可，可以得到a的取值范围