Question

（2013?普陀区二模）如图，抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个

（2013?普陀区二模）如图，抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标；（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，
∴点B（0，-3），点A（3，0），
将A与B坐标代入抛物线y=x²+bx-c得：

?c＝?3 9+3b?c＝0

，
解得：c=3，b=-2，
则抛物线的解析式是y=x²-2x-3；

（2）∵抛物线的解析式是y=x²-2x-3，
∴C（-1，0），顶点D（1，-4），
由点P为抛物线上的一个动点，故设点P（a，a²-2a-3），
∵S_△APC：S_△ACD=5：4，
∴（

1

2

×4×|a²-2a-3|）：（

1

2

×4×4）=5：4，
整理得：a²-2a-3=5或a²-2a-3=-5（由△＜0，得到无实数解，舍去），
解得：a₁=4，a₂=-2，
则满足条件的点P的坐标为P₁（4，5），P₂（-2，5）；

（3）如图所示，A、B、D分别为M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中点，
∵四边形ADBM₁为平行四边形，
∴AB与M₁D互相平分，即E为AB中点，E为M₁D中点，
∵A（3，0），B（0，-3），
∴E（

3

2

，-

3

2

），
又∵D（1，-4），
∴M₁（2，1），
∴M₂（-2，-7），M₃（4，-1），
则满足题意点M的坐标为：M₁（2，1），M₂（-2，-7），M₃（4，-1）．