Question

如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离

如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G. (1)求两星球做圆周运动的周期．(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1 .但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2 .已知地球和月球的质量分别为5.98×10 24 kg和7.35×10 22 kg.求T 2 与T 1 两者平方之比．(结果保留三位小数)

Answer 1

(1)2π 　(2)1.01

(1)mω 2 r＝Mω 2 R，r＋R＝L，联立解得 R＝ L，r＝ L 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得 ＝m L，得T＝2π . (2)将地月看成双星，由(1)得T 1 ＝2π 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 ＝m ，L化简得T 2 ＝2π ，所以两种周期的平方比值为 ＝ ＝1.01.

Answer 2

（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T．根据万有引力定律有：F=GMm /   (R+r) 方

①由匀速圆周运动的规律得F=m（2π  /  T    ）方*r  ②

  F=M(2π /   T    ）方*R  ③

由题意有 L=R+r  ④

联立①②③④式得：T=2π根号L立方/G(m+M) ⑤

（2）由1得T1方=4π方L立方/G（M+m）

GMm/L方=m4π方L/T2方

T2方=4π方L立方/GM

T2方：T1方=(M+m)/M

M=5.98×10 24 kg  m=7.35×10 22 kg

T2方：T1方=1.012