已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1=1，an+1=g（an）+1（n∈N*），bn＝1
已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1=1，an+1=g（an）+1（n∈N*），bn＝1[12f(n)+12][g(n...
已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1=1，an+1=g（an）+1（n∈N*），bn＝1[12f(n)+12][g(n)+3]．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn，并求使得Tn＞m150对任意n∈N*都成立的最大正整数m；（Ⅲ）求证：a1a2+a2a3+…+anan+1＜n2(n∈N*）．
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（Ⅰ）由题意an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1）．
∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵bn＝
＝
(
?
)，
∴Tn＝
(
?
+
?
++
?
)=
(
?
)＝
＝
．
∵
＝
?
＝
＞1，
∴Tn＜Tn+1，n∈N*．
∴当n=1时，Tn取得最小值
．
由题意得
＞
，
∴m＜10．
∵m∈Z，
∴m=9．
（Ⅲ）证明：∵
＝
＝
＜
，k＝1，2，3，，n，
∴
+
++
∴an+1+1=2（an+1）．
∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵bn＝
| 1 |
| (2n+1)(2n+3) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+3 |
∴Tn＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n+3 |
| n |
| 3×(2n+3) |
| n |
| 6n+9 |
∵
| Tn+1 |
| Tn |
| n+1 |
| 6n+15 |
| 6n+9 |
| n |
| 6n2+15n+9 |
| 6n2+15n |
∴Tn＜Tn+1，n∈N*．
∴当n=1时，Tn取得最小值
| 1 |
| 15 |
由题意得
| 1 |
| 15 |
| m |
| 150 |
∴m＜10．
∵m∈Z，
∴m=9．
（Ⅲ）证明：∵
| ak |
| ak+1 |
| 2k?1 |
| 2k+1?1 |
| 2k?1 | ||
2(2k?
|
| 1 |
| 2 |
∴
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
