Question

求微分方程y″-3y′+2y=xex的通解

求微分方程y″-3y′+2y=xex的通解．

Answer 1

微分方程y''-3y'+2y=xe^x对应的齐次微分方程为y''-3y'+2y=0
特征方程为t²-3t+2=0
解得t₁=1，t₂=2
故齐次微分方程对应的通解y＝C1ex+C2e2x
因此，微分方程y''-3y'+2y=xe^x对应的非齐次微分方程的特解可设为y^*=x（ax+b）e^x=（ax²+bx）e^x
y^*'=[ax²+（2a+b）x+b]e^x
y^*''=[ax²+（4a+b）x+（2a+2b）]e^x
将y^*，y^*'，y^*''代入微分方程y''-3y'+2y=xe^x消去e^x即可得到：
[ax²+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax²+（2a+b）x+b]+2（ax²+bx）=x
-2ax+2a-b=x

?2a＝1 2a+b＝0

a＝? 1 2 b＝1

所以，非齐次微分方程的特解为y*＝(?

1

2

x2+x)ex
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y''-3y'+2y=xe^x的通解为y+y*＝(?

1

2

x2+x+C1)ex+C2e2x．

Answer 2

• 先求出微分方程对应的齐次微分方程为y''-3y'+2y=0

• 所以特征方程为t2-3t+2=0
  解得t1=1，t2=2

• 所以齐次微分方程对应的通解y＝C1e^x+C2e^2x

• 所以微分方程对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=x（ax+b）e^x=（ax^2+bx）e^x

• 一阶求导得，y*'=[ax^2+（2a+b）x+b]e^x
  二阶求导，得y*''=[ax^2+（4a+b）x+（2a+2b）]e^x

• 将y*，y*'，y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xe^x消去e^x即可得到：
  [ax^2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax^2+（2a+b）x+b]+2（ax^2+bx）=x
  -2ax+2a-b=x
   所以−2a＝1    2a+b＝0    a＝−1/2    b＝1    

• 所以，非齐次微分方程的特解为y*＝(−x2+x)e^x
  由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
  所以，微分方程y''-3y'+2y=xe^x的通解为y+y*＝(−x2+x+C1)e^x+C2e^2x