Question

求一道有关三角形的几何题的证明题目如下

在一个三角形内，角平分线和中线重合，这个三角形是不是等腰三角形，请给出证明，过程详细点

Answer 1

已知：如图△ABC中，AD既是<BAC的平分线又是BC边上的中线，

求证：△ABC是等腰三角形

证明：过D点作AB、AC的垂线，垂足为E、F

则 <AED=<AFD=90

∵AD是<BAC的平分线

∴<EAD=<FAD

又∵AD=AD

∴△ADE≌△ADF（AAS）

∴DE=DF

在RT△BDE和RT△CDF中

DE=DF        BD=CD

∴RT△BDE≌RT△CDF（HL）

∴<B=<C

∴AB=AC

即 △ABC是等腰三角形

Answer 2

在一个三角形内，角平分线和中线重合，这个三角形是等腰三角形
已知三角形ABC,AD是角BAC的角平分线，AD是三角形ABC的中线
求证：三角形ABC是等腰三角形
证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE
因为AD是三角形BAC的中线
所以BD=CD
角ADC=角BDC
所以三角形ADC和三角形CDB全等（SAS)
所以BE=AC
角DAC=角BED
因为AD平分角BAC
所以角BAD=角DAC
所以角BAD=角BED
所以AB=BE
所以AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形

Answer 3

证明：设AD是△ABC的中线和角平分线则BD=DC,∠BAD=∠CAD
作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，则DE=DF
因为BD=DC,则S△ABD=S△ADC,
所以1/2×AB×DE=1/2×AC×DF，
因为DE=DF，所以AB=AC
所以△ABC是等腰三角形
所以在一个三角形内，角平分线和中线重合，这个三角形是等腰三角形

Answer 4

证：设AD是△BAC的中线和角平分线交BC于点D,
过D点作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
∵AD=AD,
∠AED=∠AFD,
∠BAD=∠CAD；
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴ DE=DF,
∴ AE=AF ；
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CD,
DE=DF,
∠BED=∠CFD,
∴ △BED≌△CFD（HL），
∴ BE=CF,
∴ AE+EB=AF+FC,
即AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形，
即命题得证。
PS：一般由两线重合，可得三线（角平分线、中线、对角边垂直平分线）重合。