Question

已知在四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD. 求证:AD⊥BC

谢谢,不过我们没有学过三垂线定理

Answer 1

过点B作CD的垂线,垂足为M
则平面ABM与线段CD垂直
过点C作BD的垂线,垂足为N
则平面ACN与线段BD垂直
设BM和CN的交点为O,连接DO,并延长到BC,交BC于点P
则DP⊥BC
∵平面ABM和平面ACN的交线是AO
∴AO⊥BD,AO⊥CD
∴AO⊥平面BCD
∴AO⊥BC
∵DP⊥BC
∴BC⊥平面ADP
∵AD∈平面ADP
∴AD⊥BC

Answer 2

在四面体内过顶点A作AO⊥底面交底面于O，连结BO、CO、DO并延长，BO交CD于M，CO交BD于N，DO交BC于Q
因为AB⊥CD，BO是AB在平面BCD内的射影，所以BM⊥CD
同理CN⊥BD，所以O点是三角形BCD的垂心，所以DQ⊥BC
又因为DO是AD在平面BCD内的射影，所以AD⊥BC
依据：三垂线定理

Answer 3

楼主把数学课本好好看看再来问吧，课本都没掌握好啊。