Question

已知函数f（x）=lnx+x 2 -mx（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，

已知函数f（x）=lnx+x 2 -mx（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m取值范围；（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x 1 ，y 1 ））、B（x 2 ，y 2 ）、C（x 3 ，y 3 ），其中在函数f（x）的图象上，试判定△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 若m=3，则f（x）=lnx+x 2 -3x ∴f′（x）= 2 x 2 -3x+1 x 令f′（x）＞0， ∵x＞0， ∴0＜x＜ 1 2 或x＞1； 令f′（x）＜0， ∵x＞0， ∴ 1 2 ＜x＜1 即函数f（x）在（0， 1 2 ）（1，+∞）上递减，在（ 1 2 ，1）上递增， ∴x=1时，函数有极小值为f（1）=-2； （2）求导函数可得：f′（x）= 2 x 2 -mx+1 x ∵函数f（x）在定义域内为增函数， ∴f′（x）= 2 x 2 -mx+1 x ≥0在（0，+∞）上恒成立 ∴2x 2 -mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立 ∴m≤2x+ 1 x 在（0，+∞）上恒成立 ∵x＞0时，2x+ 1 x ≥2 2 （当且仅当x= 2 2 时取等号） ∴m≤2 2 ∴实数m的取值范围为（-∞，2 2 ]； （3）证明：由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增 ∵A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），C（x 3 ，y 3 ）在函数f（x）的图象上，且x 1 ＜x 2 ＜x 3 ， ∴y 1 ＜y 2 ＜y 3 ， ∴ BA =（x 1 -x 2 ，y 1 -y 2 ）， BC =（x 3 -x 2 ，y 3 -y 2 ）， ∴x 1 ＜x 2 ＜x 3 ，y 1 ＜y 2 ＜y 3 ， ∴ BA ? BC ＜0 ∴cos＜ BA ， BC ＞= BA ? BC | BA |?| BC | ＜0 ∴∠ABC为钝角 ∴△ABC为钝角三角形