Question

正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DC

正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．

Answer 1

（1）见解析  （2）

（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°， ∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°. ∵ ∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°. 在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF， ∴△DEF≌△DMF（SAS），∴ EF="MF." （2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4， ∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x. ∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中， 由勾股定理得EB 2 +BF 2 =EF 2 ，即2 2 +（4－x） 2 =x 2 ， 解得：x= ，即EF= .