Question

急！！！！！！！！！！！！恳请数学达人帮忙再详细解说一遍（一道选择题的参考解释），悬赏分再加加加

如题：已知正三棱锥P-ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为
（√2）/3，则正三棱锥P-ABC的体积为？（ ）

A .[(3√3)/8]*h³ B .[(2√3)/8]*h³ C .[√3)/8]*h³ D.[(3√3)/4]*h³

PS：该题答案为C项，参考解释为：设底面边长为a，连接CO交AB于点F，
过点D作DE∥PO交CF于点E，连接BE，则∠BDE为PO与BD所成的角，依据PO⊥平面ABC，则DE⊥平面ABC，且COS∠BDE=（√2）/3，则在Rt△BED中，（D为侧棱PC中点）可知DE=h/2，BE=（√14）/2h，再在Rt△BEF中，BE²=EF²+FB²，由此可化简得a²=3/2h²，所以Vp-ABC=1/3*1/2*a*[（√3）/2]a*h
=[√3/12]a²h=（√3/8）h³

看了解释，找了老师跟同学，我还是不太理解，麻烦数学达人再详细解释一遍该题的参考解释，特别是那些数据，不知道具体是怎么得来的，譬如“BE=（√14）/2h”是怎么算的？“BE²为什么等于EF²+FB²”“由此可化简得a²=3/2h²”这其中具体的过程是怎样的......，根据回答的具体程度再额外追加悬赏分5~50，谢谢，辛苦了！！！！！！
还有不到20天就要高考了，请勿灌水，谢谢！！！！！！

Answer 1

解答：你先看好图，然后按照答案提示在图上画辅助线，一定要画准确。

前面那些你应该看得懂吧！做完辅助线后，点O、点E都是在底面ABC内的，且都在线CF上。

此题最主要是求解底边a，解答过程如下图：你写的答案上面BE=（√14）/2h是错的，应该是（√14）/4h

如果还有不懂，可以问我。

追问

O(∩_∩)O谢谢您真诚的帮助！！！您真好！！！抱歉，昨天很早便要回学校了，今天进行月考，现在才回复，抱歉啊！！！您所讲解的解题过程清晰明了，您的数学功底真够雄厚的！！！我还想了解的是：请问怎么知道点O是正三角形ABC的中心【中心即三角形中三条中线的交点，还是重心】？（鄙人只知道PO⊥平面ABC，不知道O是正三角形ABC的中心），还有，请问是不是经过任一三角形中心的线段，该三角形的中心都是此线段的三等分点？

追答

正三角形比较特殊，它的重心、内心、外心是同一个点，就是中心。
之所以说O是△ABC的中心，是因为该三棱锥为正三棱锥，正三棱锥底面是等边三角形。
只有经过任意三角形重心的线段，该重心点才是三等分点，不要搞混了重心和中心的含义。

Answer 2

立体几何的性质