Question

（2014?烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=

（2014?烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα?tanβ2=13．

Answer 1

证明：连接AC，则∠A=

1

2

∠POC=

β

2

，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tanα=

BD

BC

，BD∥AC，
∴∠PBD=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PBD∽△PAC，
∴

BD

AC

=

PB

PA

，
∵PB=0B=OA，
∴

PB

PA

=

1

3

，
∴tana?tan

β

2

=

BD

BC

?

BC

AC

=

BD

AC

=

1

3

．