Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，PA=AB．（

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，PA=AB．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若F为PD上的动点，求EF与平面PAD所成最大角的正切值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
所以△ABC为正三角形．
E为BC中点，故AE⊥BC；
又因为AD∥BC，所以AE⊥AD．…（3分）
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．…（5分）
故AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．…（7分）
（Ⅱ）连结AF，由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
所以∠AFE为EF与平面PAD所成的角．…（10分）
在Rt△AEF中，AE=

3

，∠AFE最大当且仅当AF最短，
即AF⊥PD时，∠AFE最大．…（12分）
依题意，此时，在Rt△PAD中，PA?AD=PD?AF，
所以AF=

2

，tan∠AFE=

AE

AF

=

6

2

．
所以，EF与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

．…（15分）