Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2+BE2=DE2

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2+BE2=DE2．

Answer 1

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图，则∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAF=45°，即∠EAF=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中

AE＝AE ∠EAD＝∠EAF AD＝AF

，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵∠FBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∴CD²+BE²=DE²．