Question

设函数f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-m．（Ⅰ）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的

设函数f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-m．（Ⅰ）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当m=5时，函数f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-5，
由f（x）＞0可得

x≥2 x+1+x?2?5＞0

 ①，或  

?1≤x＜2 x+1?x+2?5＞0

，或 ②

x＜?1 ?x?1?x+2?5＞0

．
解①求得 x＞3，解②求得x∈?，解③求得x＜-2．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，即 丨x+1丨+丨x-2丨≥2+m 的解集为R．
而丨x+1丨+丨x-2丨≥|（x+1）-（x-2）|=3，
故有 3≥2+m，即 m≤1，
故m的范围为（-∞，1]．