Question

已知数列{an}中，a1=3，且满足an+1?3an＝2×3n(n∈N*)，（Ⅰ）求证：数列{an3n}是等差数列；（Ⅱ）求数列

已知数列{an}中，a1=3，且满足an+1?3an＝2×3n(n∈N*)，（Ⅰ）求证：数列{an3n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵an+1?3an＝2×3n，
∴

an+1

3n+1

?

an

3n

＝

2

3

，（3分）
∴数列{

an

3n

}是公差d＝

2

3

的等差数列．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知{

an

3n

}是等差数列，
∴

an

3n

＝

a1

3

+

2

3

(n?1)=

1

3

(2n+1)，
∴an＝(2n+1)?3n?1，（8分）
∴Sn＝3+5?3+7?32+…+(2n?1)?3n?2+(2n+1)?3n?1，①
3Sn＝9+5?32+7?33+…+（2n-1）?3^n-1+（2n+1）?3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）?3ⁿ
=3+2×

3×(1?3n?1)

1?3

-（2n+1）?3ⁿ
=3+3ⁿ-3-（2n+1）?3ⁿ
=-2n?3ⁿ，
∴Sn＝n?3n．（12分）