Question

如图，△ABC中，D,E分别是边BC,AB上的点，且∠1=∠2=∠3，若设△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为c,c1,c2，求

如图，△ABC中，D,E分别是边BC,AB上的点，且∠1=∠2=∠3，若设△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为c,c1,c2，求证c1+c2/c≤5/4
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Answer 1

∠B=∠EDA=∠DAC,DE//AC

△ABC∽△EBD∽△ADC

△ABC,△EBD,△ADC周长为c,c1,c2即相似比为c:c1:c2

BC:BD:AC=c:c1:c2

设BC=ck,BD=c1k,AC=c2k

CD=BC-BD=(c-c1)k

CD/AC=AC/BC,(c-c1)/c2=c2/c

左边分子分母同除以c:

(1-c1/c)/(c2/c)=c2/c

设c2/c=x,c1/c=y

(1-y)/x=x,1-y=x^2,y=1-x^2

(c1+c2)/c=x+y=x+1-x^2=-(x-1/2)^2+5/4

当x=1/2,即c2/c=1/2时,

(c1+c2)/c最大为5/4
故c1+c2/c≤5/4