Question

紧急求助！！！！！！跪求数学达人详细解释一道选择题的答案（解题过程），辛苦了！！！

如题：设分段函数：①当x≥0时，f(x)=x-[x]; ②当x＜0时，f(x)=f(x+1),其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.5]=-2，[1.5]=1，若直线y=k(x+1)(k＞0）与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是（）

（1/4,1/3] B.（0，1/4] C.[1/4,1/3] D.[1/4,1/3）

PS：该题的答案为D项，我的数学很不好，特别是“分段函数（当x＜0时，f(x)=f(x+1)）f(x)的解释式”不知咋的，该分段函数的图像，也画不出来，跪求该题的详细解答过程，谢谢！！！！！！
要高考了，切莫灌水！！！谢谢！！！

Answer 1

①x≥0时，f(x)=x-[x] 可以看出函数值域为[0，1) 另外还能看出f(x)为周期函数： f(0)=f(1)=f(2)=……= 0 f(0.1)=f(1.1)=f(2.1)=……= 0.1 f(0.2)=f(1.2)=f(2.2)=……= 0.2 · · f(0.9)=f(1.9)=f(2.9)=……= 0.9 ∴f(x)在[1，2)、[2，3)、[3，4)、[4，5)……处的图像时由[0，1)处的图像平移过去的(周期为1) 而当0≤x＜1时，[x]=0，f(x)=x ②当x＜0时，f(x)=f(x+1) (其实这个式子就能表示x＜0时，周期为1了) 在把[-1，0)上的图像画出来 x∈[-1，0)，则x+1∈[0，1) 而f(x)=f(x+1) ∴f(x)在[-1，0)处的图像还是由[0，1)处的图像平移过去的。 具体图像在这里： 直线y=k(x+1)恒过(-1，0)这一点，除这一点外只能有两个交点了。 看图一目了然。 ①的斜率为1/4，②的斜率为1/3 图在这：

追问

谢谢啊\(^o^)/~！！！请问：“当x＜0时，f(x)=f(x+1),”时，这个图像好像画不出来噢，因为不知道该函数具体的解释式是什么，您的看法是？...

追答

举个例子：
f(x)=sinx， 这个函数的周期为2π，是因为f(x+2π)=sin(x+2π)=sinx，∴f(x)=f(x+2π)
∴f(x)在长度为2π的区间里面的图像都相同。比如[-2π,0)、[0,2π)、[2π，4π)、[4π，6π)……

而f(x)=f(x+1)，表示周期为1，∴它在每个长度为1的区间里面的图像都相同。
比如[-3，-2)、[-2，-1)、[-1，0)……
∴把[-1，0)这个区间里面的图像画出来，其它的肯定和它一样了。

关键是[-1，0)这个区间里面的图像怎么画，只要把它画出来，然后根据上面的结果平移就可以了。
f(x)=f(x+1)
f(-1)=f(0)=0
f(-0.9)=f(0.1)=0.1
f(-0.8)=f(0.2)=0.2
·
·
f(-0.3)=f(0.7)=0.7
f(-0.2)=f(0.8)=0.8
f(-0.1)=f(0.9)=0.9
上面的等式表示的是当自变量x相差1时，y值是相等的
你就根据这些点(-1，0) (-0.9,0.1)、(-0.8,0.2)就能看出在[-1，0)上的图像和[0，1)上的图像现状一样了。[-1，0)上的图像有了，其他的就简单了。

追问

O(∩_∩)O谢谢，您真好！！！！！！快高考了，顺便问一下：下次遇到类似这种“f(x)=f(x+1)”问题时，是不是不需要求出该函数具体的解释式，只需要按照周期变换规律就可以算出结果了？

追答

嗯，是的。

Answer 2

f(x)=x-[x]也就是f(x)=y（y为x小数部分）（[x]表示不超过x的最大整数，在x≥0时就是x的整数部分，所以在x≥0是f(x)=y（y为x小数部分））也就是x=0时y=0，x=1时y=1 （当然这个点取不到）连下线就是图像了x=1时y=0，x=2时y=1 （当然这个点取不到）......依次类推，当x＜0时，f(x)=f(x+1)就是x的函数值与x+1的一样在x＜0时，也就是要+到x>=0时才知道函数值，也就是当x小于0时，f(x)=-x-[-x]，...悲剧啊， 我高二的，语文水平很差，0.0，讲不清了，告诉你4个点是4个极端的点，（-3,1）k=-0.5 。（-2,1）k=-1.(-1,-0.5]（舍去）（2,1）k=1/3 。（3,1）k=0.25 .[1/4,1/3）

Answer 3

先画图 其图形是周期性的 在[0,1）区域内就是y=x，然后[1,2)就是y=x-1,相当于向右平移一个单位，在整个R区域都有此规律。所给直线过定点（-1,0），然后观察图形。。当x＜0时，f(x)=f(x+1）就是一个以1为周期的函数，只要画出（-1,0）区域内的直线即可推出其右的图形，而（-1,0）区域与（1,0）区域的值域相同。总之学数学一定要注意数形结合。

追问

谢谢！！请问：“当x＜0时，f(x)=f(x+1),”时，这个图像好像画不出来噢，因为不知道该函数具体的解释式是什么，您的看法是？...

追答

f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(0),……以此类推 其实还算简单吧 自己多思考

Answer 4

先森，你的题发的很含糊~~~- -！ 你检查下是不是那里错了

Answer 5

选择题，所以用特殊的方法，x≥0时，(x)=x-[x]，都是在[0,1）区间中，图像是y=x图像，只不过是在区间（0,1）上的，然后通过平移一个单位1就是了。当x小于0时，带入几个特殊值，就可以发现，图像和之前的很类似，只不过是图像向左平移一个单位。你画画图就能理解了

追问

谢谢噢，请问：“当x＜0时，f(x)=f(x+1),”时，这个图像好像画不出来噢，因为不知道该函数具体的解释式是什么，您的看法是？...

Answer 6

你看哈，如果当x≥0时，那么无论x多大，f(x)=x-[x]的图形都在做一种反复的运动，就是一条x和y的坐标焦点到坐标（1,1）的一条短线，但是不会完全到达这个点，只会无限接近这个坐标点，因为其在x等于整数时，其f(x)值是0。当x＜0且大于-1时，f(x)=f(x+1)的图像和x≥0且小于1时的图像是以y轴对称的一个图像，当小于-1的时候，那么就会出现的是x上的无数个点。那么就这样看来的话，就形成以个形似在x轴上方形成一个高为1，且x坐标点位从-1到1的一个长方形矩形，那么我们就只能看k值了，所以当x为最小的时候，譬如说x=0时，y值必须在矩形内。那么当x=1时，那么y不能大于或等于1，所以先就出现了2k必须小于1，k值就必须小于1/2,而此时顶多就两个点相交，要确保有三个点相交的话，就必须得把x的值加到2，那么这个最大化的k值就是小于1/3,。接下来我们就来看看它最小的值计算方法法：如果x=3的时候，图形在x大于2小于3的这块区间里无相交的话，且计算出来的k值适合当x等于负数时，y值大于0，那么就适合我们图形的做题的要求，这里要注意这句话“因为其在x等于整数时，其f(x)值是0”这句话是说图形只能无限接近整数点位，而不是在整数点位也能相交，所以其k值的值的区间为[1/4,1/3）。若有不对的，请你指出来。

追问

谢谢您哦！！！请问：“当x＜0时，f(x)=f(x+1),”时，这个图像好像画不出来噢，因为不知道该函数具体的解释式是什么，您的看法是？...

追答

对不起，上边有点我说错了，实际上x<0的图像很简单的，当x小于或者等于-1时，就是一条x轴的直线，当-1<x<0时，实际上就是一个以坐标点（-1，0）到（0，1）的一条无限靠近的一条直线，和当x≥0时的图像的形式是一样的。那么我们就看看这个图像，当x=-1时，直线y=k(x+1)可以和分段函数图像相交，而且是永远不变的相交点。那么就来看看剩下的图形相交，因为直线y=k(x+1)的图形方向和当-1<x<0时出现的分段函数的图像一样的，所以是不可能会相交的，那么我们就只能考虑剩下的了，要想满足相交，首先想到1<x<2这一段的图形，当x值无限接近2时，直线y+k(x+1)的值也要无限靠近1，所以就找到了K的第一个值域，就是k<1/3，那么我们就来看看这下一个值域，因为直线与分段函数只有3个交点，所以当x=3时，y=1，这样，我们就能算出k值为1/4，所以我们不难看出k的值域是什么了？就是D 选项的值