Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=-x+m经过点C，交x轴于点D．（1）求m的值；（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G，设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO，求此时t的值及点H的坐标．

Answer 1

（1）解：方法一：如图1，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（-2，0）B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA=2 过点C作CK⊥x轴于K，
则四边形BOKC是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4，
∴C（2，4）代入y=-x+m得，4=-2+m，
∴m=6；

方法二，如图2，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（-2，0）B（0，4），
∴OA=2 OB=4，
延长DC交y轴于点N，
∵y=-x+m交x轴和y轴于点D，N，
∴D（m，0）N（0，m），
∴OD=ON，
∴∠ODN=∠OND=45°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥AO，BC=OA=2，
∴∠NCB=∠ODN=∠OND=45°，
∴NB=BC=2，
∴ON=NB+OB=2+4=6，
∴m=6；

（2）解：方法一，如图3，延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，
∴ER=PO=GQ=t，
∵tan∠BAO=

ER

AR

=

OB

OA

，
∴

t

AR

=

4

2

，
∴AR=

1

2

t，
∵y=-x+6交x轴和y轴于D，N，
∴OD=ON=6，
∴∠ODN=45°，
∵tan∠ODN=

GQ

QD

，
∴DQ=t，
又∵AD=AO+OD=2+6=8，
∴EG=RQ=8-

1

2

t-t=8-

3

2

t，
∴d=-

3

2

t+8（0＜t＜4）；

方法二，如图4，∵EG∥AD，P（O，t），
∴设E（x₁，t），G（x₂，t），
把E（x₁，t）代入y=2x+4得t=2x₁+4，
∴x₁=

t

2

-2，
把G（x₂，t）代入y=-x+6得t=-x₂+6，
∴x₂=6-t，
∴d=EG=x₂-x₁=（6-t）-（

t

2

-2）=8-

3

2

t，
即d=-

3

2

t+8（0＜t＜4）；

（3）解：方法一，如图5，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵BP=4-t，
∴tan∠AB0=

EP

BP

=tan∠BOC=

1

2

，
∴EP=2-

t

2

，
∴PG=d-EP=6-t，
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
∴∠BGP=∠BOC，
∴tan∠BGP=

BP

PG

=tan∠BOC=

1

2

，
∴

4?t

6?t

=

1

2

，
解得t=2，
∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，
∴△BHF∽△BFO，
∴

BH

BF

=

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