已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立
已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：...
已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：对任意的0＜a＜b，f(b)?f(a)b?a≤1a-1．
展开
展开全部
（ I）定义域为（0，∞），f′(x)＝
?m=
，
当m≤0时，f′(x)＝
＞0(x＞0)，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，令f′(x)＝
＞0，得0＜x＜
，∴f（x）在(0，
)上单调递增；
令f′(x)＝
＜0，得x＞
，
∴f（x）在(
，+∞)上单调递减．
∴当m≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），无单调减区间；
当m＞0时，f（x）的单调增区间是(0，
)，单调减区间是(
，+∞)．
（ II）由（ I）知，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且f（e）=lne-me+m=1+m（1-e）＞0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立；
当m＞0时，由（ I）得f(x)max＝f(
)＝?lnm?1+m，
若使f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，只需-lnm-1+m≤0，
令g（m）=-lnm-1+m，g′(m)＝
，
∴当m∈（0，1）时，g'（m）＜0，
当m∈（1，+∞）时，g'（m）＞0，
∴g（m）min=g（1）=0，∴只有m=1符合题意，
综上得，m=1．
（ III）由（ II）知m=1，
∴
＝
?1＝
?
?1，
∵b＞a＞0，∴
＞1，由（ II）得，当x∈（0，+∞）时，lnx≤x-1，
∴ln
≤
?1，
∵
＞1，∴
≤1，
∵
＞0，∴
?
| 1 |
| x |
| 1?mx |
| x |
当m≤0时，f′(x)＝
| 1?mx |
| x |
当m＞0时，令f′(x)＝
| 1?mx |
| x |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
令f′(x)＝
| 1?mx |
| x |
| 1 |
| m |
∴f（x）在(
| 1 |
| m |
∴当m≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），无单调减区间；
当m＞0时，f（x）的单调增区间是(0，
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
（ II）由（ I）知，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且f（e）=lne-me+m=1+m（1-e）＞0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立；
当m＞0时，由（ I）得f(x)max＝f(
| 1 |
| m |
若使f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，只需-lnm-1+m≤0，
令g（m）=-lnm-1+m，g′(m)＝
| m?1 |
| m |
∴当m∈（0，1）时，g'（m）＜0，
当m∈（1，+∞）时，g'（m）＞0，
∴g（m）min=g（1）=0，∴只有m=1符合题意，
综上得，m=1．
（ III）由（ II）知m=1，
∴
| f(b)?f(a) |
| b?a |
| lnb?lna |
| b?a |
| 1 |
| a |
ln
| ||
|
∵b＞a＞0，∴
| b |
| a |
∴ln
| b |
| a |
| b |
| a |
∵
| b |
| a |
ln
| ||
|
∵
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
