Question

数学题，求答案！！！

1。已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-√3cos2x,xε[π/4,π/2]。求：（1）求f(x)的最大值和最小值。（2）若不等式|f(x)-m|<2在xε[π/4,π/2]上恒成立，求实数m的取值范围。 2。一个关有6个果蝇的笼子里，不慎混入两只苍蝇，为赶走苍蝇，把笼子开了一个小孔，让它们一只一只往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再堵住小孔。求：（1）求笼内还剩下6只果蝇的概率。（2）求笼内还剩下至少有两只果蝇的概率。 3。设数列｛An｝的前n项和为Sn=2n^2,｛Bn｝为等比数列，且A1=B1,B2(A2-A1)=B1.求：（1）求数列｛An｝的通项公式。（2）设Cn=An/Bn,求数列｛Cn｝的前n项和Tn。 4。函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中aεR. (1)若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值。 5。已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左，右焦点分别为C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点。（1）求：双曲线C2的方程。 跪求高手解答，没多少分了，请大家帮忙。谢谢

Answer 1

1、(1)
f(x)=2sin²(π/4+x) - √3cos2x
=1-cos[2(π/4+x)] - √3cos2x
=1-cos(π/2+ 2x)] - √3cos2x
=1 + sin2x - √3cos2x
=2[(1/2)sin2x - (√3/2)cos2x] + 1
=2sin(2x - π/3) + 1
π/4≤x≤π/2
π/2≤2x≤π
π/6≤2x-π/3≤2π/3
1/2≤sin(2x-π/3)≤1
3/2≤sin(2x-π/3) + 1≤2

(2)
|f(x)-m|＜2恒成立，即-2＜f(x)-m＜2恒成立。
∵3/2 - m ≤ f(x)-m ≤ 2 - m
∴3/2 - m＞ -2 且 2 - m ＜ 2
∴0＜m＜1/2

2、
我把所有情况都写出来：
“0 1 2 3 4 5 6” 表示 表示笼子中剩余的“果蝇”数目。
---------------------
各中情况的概率：
0： 最后一只是苍蝇，C(7,1)/C(8,2)=1/4
1：最后一只是果蝇，且前一只飞出的是苍蝇，C(6,1)/C(8,2)=3/14
2：最后两只一只是果蝇，且前一只飞出的是苍蝇，C(5,1)/C(8,2)=5/28
3：.... 三...............................: C(4,1)/C(8,2)=1/7
4： ....四...............................: C(3,1)/C(8,2)= 3/28
5：....五.............................: C(2,1)/C(8,2)=1/14
6： ....六.......................: C(1,1)/C(8,2)=1/28
(经检验，所有加起来等于1)
(1)、 C(1,1)/C(8,2)=1/28
(2)、 1 - C(7,1)/C(8,2) - C(6,1)/C(8,2) = 1 - 1/4 - 3/14 = 15/28

3、
(1)、 an=Sn - S(n-1) = 2n² - 2(n-1)² = 4n-2 ， n≥2
把a1=S1=2代入也满足。
∴an=4n-2

(2)、 b1=a1=2，a2=6
∵b2(a2-a1)=b1
∴b2=1/2
∴q=b2/b1=1/4
∴bn=2×(1/4)^(n-1)
∴Cn=an/bn=(4n-2)/[2×(1/4)^(n-1)] = (2n-1)×4^(n-1)
Tn = 1×4^0 + 3×4^1 + 5×4^2 + 7×4^3 + …… + (2n-1)×4^(n-1)
4Tn = 1×4^1 + 3×4^2 + 5×4^3 + …… + (2n-3)×4^(n-1) + (2n-1)×4^n
两式相减，得：
3Tn = (2n-1)×4^n - 1 - 2[4^1 + 4^2+4^3 +……+4^(n-1)]
=(2n-1)×4^n - 1 - 2(4^n - 4)/3
=[(6n-5)4^n + 5]/3
∴Tn =[(6n-5)4^n + 5]/9

4、 (你这一题题目是不是丢了一个第二小问，是“(2)若f(x)在(-∞，0)上为增函数，求a的取值范围”吧？)
(1)、
f(x)= 2x³-3(a+1)x²+6ax+8
f'(x) = 6x²-6(a+1)x+6a
f'(3) = 54 -18(a+1)+6a=0
a=3

(2)、
f'(x) = 6x²-6(a+1)x+6a =6(x-a)(x-1)≥0
∵x＜0， ∴x-1＜ -1
∴x-a≤0
∴a≥x
要使上式恒成立
则a≥0

5、(又丢了)
(1)、
设双曲线C2的方程为：x²/a’²-y²/b’²=1.
∵椭圆C1的方程为x²/4+y²=1
∴a=2，b=1
∴c²=a²-b²=3，即c=√3
又∵双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点。
∴a’=c=√3，c’=a=2
∴b’² = c’² - a’² =1，即b’=1
∴双曲线C2方程为：x²/3 - y² =1；

(2)、是“若直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且向量OA·OB＞2（其中O为原点），求k的范围”吧？
直线y=kx+√2，双曲线x²/3-y²=1
联立两个方程，并化简，得：
(1-3k²)x²-6√2kx-9=0，
∵直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B
∴△=(-6√2k)²+36(1-3k²)＞0， 且1-3k²≠0
即k²＜1 且 k²≠1/3 …………①
设A（x1，y1）,B（x2，y2）
则有x1+x2=6√2k/（1-3k²），x1*x2=-9/（1-3k²）
∴y1*y2=（kx1+√2）（kx2+√2）
=k²x1x2+√2k（x1+x2）+2
=-9k²/（1-3k²）+12k²/（1-3k²）+2
=（2-3k²）/（1-3k²）
OA*OB=x1x2+y1y2
=-9/（1-3k²）+（2-3k²）/（1-3k²）
=（3k²+7）/（3k²-1）＞2
∴-√3＜k＜-√3/3或√3/3＜k＜√3 …………②
由①②，得：
k的范围为：-1＜k＜-√3/3 或 √3/3＜k＜1

Answer 2

化简函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-√3cos2x结果为f(x)=1+1/2cos（2x+π/6），因为cos（2x+π/6）的最大值为1、最小值为-1，所以f(x)的最大值为3/2，最小值为1/2。

Answer 3

1、解：（1）因为 2sin^2(π/4+x)=1-cos2(π/4+x)=1-cos(π/2+2x)=1+sin2x
f(x)=1+sin2x+根号3 cos2x=1+2[1/2sin2x+根号3 /2 cos2x]=1+2sin(2x+π/3)
因为π/4<=x<=π/2 所以π/2<=2x<=π 所以5π/6<=2x+π/3<=4π/3 所以 -根号3/2<=sin(2x+π/3)<=1/2
f(x)最大值为2
f(x)最小值为1-根号3
（2）由题意得m-2<f(x)<m+2
即m-2<1-根号3 且 m+2>2 所以0<m<3-根号3

2、解：(1)1/4x1/7=1/28
(2)

3、（1）an=4n-2
(2) b2/b1=1/(a2-a1)=1/4,b1=a1=2
bn=2x(1/4)^(n-1) Cn=an/bn=(2n-1)x4^(n-1)
Tn=1+3x4+5x4^2+...+(2n-1)x4^(n-1)-------------------------<1>
4Tn=4+3x4^2+.....+(2n-3)x4^(n-1)+(2n-1)x4^(n-1)----------------------<2>
<1>减去<2>得
-3Tn=1+2X[4+4^2+...+4^(n-1)]-(2n-1)x4^(n-1)
=

好麻烦，求楼下继续。。。我要睡觉了。。。