Question

（2013?达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆

（2013?达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM=16S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接CM，
∵AO是直径，M是圆心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D为OB的中点，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切线；

（2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴

AC

AO

＝

AO

AB

，
∴

3

5

＝

5

AB

，
∴AB=

25

3

．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=

20

3

，
∵D为OB的中点，
∴OD=

1

2

OB=

10

3

，
∴D（0，

10

3

）．
∵OM=AM=

1

2

OA=

5

2

，
∴M（

5

2

，0）．设抛物线的解析式为y=a（x-

5

2

）（x-5），由题意，得

10

3

=a（0-

5

2

）（0-5），
解得：a=

4

15

，
∴抛物线的解析式为：y=

4

15

（x-

5

2

）（x-5），
=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得

10 3 ＝b 0＝5k+b

，
解得：