Question

（2013?长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形

（2013?长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为______．

Answer 1

探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，
∵AE⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形AFCE为矩形，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，
∵∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∵在△AFB和△AED中，

∠FAB＝∠EAD ∠F＝∠AED＝90° AB＝AD

，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF=AE，
∴四边形AFCE为正方形，
∴S_{四边形ABCD}=S_{正方形AFCE}=AE²=10²=100；

应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，
则∠ADF+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，

∠ABC＝∠ADF ∠AEB＝∠F＝90° AB＝AD

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF=AE=19，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=

1

2

BC?AE+

1

2

CD?AF
=

1

2

×10×19+

1

2

×6×19
=95+57
=152．
故答案为：152．