Question

（2013?山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD．已知BC=BD，AB=4．（

（2013?山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD．已知BC=BD，AB=4．（1）若BC=23，求证：BD是⊙O的切线；（2）BC=3，求CD的长．

Answer 1

（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵sinA=

BC

AB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠A=60°，
∵AO=CO，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=60°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°，
∵∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠OBD=180°-（∠BOD+∠D）=90°，
∴OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；

（2）∵AB为圆O的直径，且AB=4，
∴OB=OC=2，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
∵OC=OB，
∴∠BCD=∠OBC，
∴∠D=∠OBC，
在△BCD和△OCB中，
∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，
∴△BCD∽△OCB，
∴

CD

BC

=

BC

OC

，即

CD

3

=

3

2

，
则CD=

9

2

．