Question

已知2次函数y=x2+2x+m的图像C1与x轴有且只有一个公共点

1.求C1的顶点坐标2.将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3,0）求C2函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标3.若P（n，y1）Q（2，y2）是C1上的两点且y1＞y2求实数n的取值范围

Answer 1

解:
y=x²+2x+m
与x轴一个交点
判别式=4-4m=0
m=1
y=(x+1)²
(1) 顶点(-1,0)
(2) C2: y=(x+1)²-K
过(-3,0)
0=4-k
K=4
y=(x+1)²-4
另一个交点（1,0）
(3) (n+1)²>9
n>2或n<-4

Answer 2

（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为直线x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C1的顶点坐标为（-1，0）；

（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0，得k=-4，
∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；

（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，
当n≥-1时，
∵y1＞y2，
∴n＞2．
当n＜-1时，P（n，y1）的对称点坐标为（-2-n，y1），且-2-n＞-1，
∵y1＞y2，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
综上所述：n＞2或n＜-4．