Question

已知函数y=ax2+x+1的图像与x轴只有一个公共点 （1）求这个函数关系式 （2）设二次函数的图像顶点为B，与

Y轴交点为A，P为图像上一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点坐标；
（3）在（2）中，若圆于x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索M是否在抛物线上，若在，求M坐标；若不在，说明理由。

Answer 1

(1). 1、当a=0时，函数是一次函数，与x轴只有一个公共点，符合题意，所以关系式为y=x+1
2、当a不为0时，函数是二次函数。因为与x轴只有一个公共点，所以b平方减4ac等于零。
即1-4a=0，a=1/4。即关系式为y=1/4x2+x+1
（2）.已求二次函数y=1/4x2+x+1，由题意易知，A（0,1）、B（-2,0），以PB为直径的圆切AB于B，即PB垂直于AB，易求AB的函数表达式为y=1/2x+1，所以PB的函数表达式为y=-2x-4，与二次函数表达式联立方程组即可得：P（-10,16）
（3）.不在。根据图像可判断，M（-2,16），不在抛物线上。
这类问题解决的要点就在画图上，基本函数问题的最佳解决方法就是画图。祝你愉快。

Answer 2

解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = 14 ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=14 x2+x+1……（3分）
（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x
轴于点C．
∵y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=14 x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）………（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴ ，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）
设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
∵点P在二次函数y=14 x2+x+1的图象上，∴-4-2x=14 x2+x+1…………………（6分）
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）
（3）点M不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………………………………（8分）
由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ
∴QE‖MD，QE=12 MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =12
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=85 ，QE=165
∴Q点的坐标为(-185 ，165 )
可求得M点的坐标为(145 ，325 )…………………………………………………（11分）
∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………（12分）
(其它解法，仿此得分)

Answer 3

解：（1）∵函数y=ax2+x+1的图像与x轴只有一个公共点
∴△=1-4a方=0
∴a＝±½
∴a=±½ x平方+x+1