设f(x)在[0,1]上连续,且单调不增,证明:任给α∈(0,1),有∫α0f(x)dx≥α∫10f(x)dx

设f(x)在[0,1]上连续,且单调不增,证明:任给α∈(0,1),有∫α0f(x)dx≥α∫10f(x)dx.... 设f(x)在[0,1]上连续,且单调不增,证明:任给α∈(0,1),有∫α0f(x)dx≥α∫10f(x)dx. 展开
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LR0174LR
2014-09-03 · TA获得超过164个赞
知道答主
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证明:
由积分中值定理,存在ξ∈[0,α],使:
α
0
f(x)dx=αf(ξ)
;存在η∈[α,1],使:
1
α
f(x)dx=f(η)(1?α)

因为:η≥α≥ξ,所以:f(η)≤f(ξ),
则:
α
1
0
f(x)dx=α
α
0
f(x)dx+α
1
α
f(x)dx=α2f(ξ)+αf(η)(1?α)
α2f(ξ)+αf(ξ)(1?α)=αf(ξ)=
α
0
f(x)dx
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