Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：△DFB≌△DAC；（2）求证：CE=12BF．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∠BDF＝∠CDA ∠A＝∠DFB BD＝DC

，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS）．

（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中，

∠AEB＝∠CEB BE＝BE ∠ABE＝∠CBE

，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE＝AE＝

1

2

AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE＝

1

2

AC＝

1

2

BF．