Question

如图，等边△ABC的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边△CEF，连接BF并延长至点N，M为BN

如图，等边△ABC的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边△CEF，连接BF并延长至点N，M为BN上一点，且CM=CN=5，则MN的长为______．

Answer 1

作CG⊥MN于G，   
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，
即∠ACE=∠BCF，
在△ACE与△BCF中

AC＝BC ∠ACE＝∠BCF CE＝CF

      
∴△ACF≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴CG=

1

2

BC=4，
在Rt△CMG中，MG=

CM2?CG2

=

52?42

=3，
∴MN=2MG=6，
故答案为：6．