（2001?湖州）已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．（1
（2001?湖州）已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变...
（2001?湖州）已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，△EDF的面积最大，最大面积是多少？（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长．
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（1）∵△ABC是正三角形，且ED∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，
∴CD=DF÷sin60°=
x．
∠EDF=90°，
BD=BC-CD=ED=4-
x．
y=DF×ED÷2=
x（4-
x）=-
x2+2x，
∵D在BC上，
∴CD＜4，
当CD=4时，CF=2，DF=2
，
DF≤2
（等于2
时，D和B重合）
∴自变量x的取值范围0≤x≤2
∴△BDE∽△BCA，
∴△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，
∴CD=DF÷sin60°=
2
| ||
| 3 |
∠EDF=90°，
BD=BC-CD=ED=4-
2
| ||
| 3 |
y=DF×ED÷2=
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∵D在BC上，
∴CD＜4，
当CD=4时，CF=2，DF=2
| 3 |
DF≤2
| 3 |
| 3 |
∴自变量x的取值范围0≤x≤2
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