Question

已知代数式（x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)是一个完全平方式，问以a，b，c为边的是什么三角形？

Answer 1

等边三角形
把（x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)化开，得到3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)，因为它为完全平方式，所以必须a=b=c

追问

为什么a=b=c ，能详细的告诉我吗？

追答

3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)
=3(x^2-2(a+b+c)/3）+(ab+bc+ac)
=3[x-(a+b+c)/3]^2-(a+b+c)^2/3+(ab+bc+ac)
由于它是完全平均式
所以-(a+b+c)^2/3+(ab+bc+ac)=0
即(a+b+c)^2=3(ab+bc+ac)左边化开减去右边：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
所以a=b=c

Answer 2

3x²-（2a+2b+2c）+ba+bc+ac是一个完全平方式则
(2a+2b+2c)²-12(ab+bc+ac)=0
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边乘以2，配方得
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0
a-b=0,a-c=0,b-c=0
a=b=c
所以是等边三角形