Question

求不定积分∫1/(a^2+x^2)dx 解答越详细越好。。。

提出来一个1/a^2 最后划成∫1/a^2*1/u^2 =1/2 ∫1/u^2 这个1/2 是怎么从∫1/a^2 划出来的？

Answer 1

令x=atanz

dx=asec²z dz

原式=∫asecz*asec²z dz

=∫secz dtanz,a²先省略

=secztanz - ∫tanz dsecz

=secztanz - ∫tanz(secztanz) dz

=secztanz - ∫sec³z dz + ∫secz dz

∵2∫sec³z dz = secztanz + ln|secz + tanz|

∴∫sec³z dz = (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + C

原式=(1/2)a²secztanz + (1/2)a²ln|secz + tanz| + C1

=(1/2)x√(a²+x²) + (1/2)a²ln|x + √(a²+x²)| + C2

扩展资料：

函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数  及  的原函数存在，则

求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数  的原函数存在，  非零常数，则

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如  ，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

∫ dx/(a² + x²)
= ∫ dx/[a²(1 + x²/a²)]
= (1/a²)∫ dx/(1 + x²/a²)
= (1/a²)∫ d(x/a · a)/(1 + x²/a²)
= (1/a²)(a)∫ d(x/a)/(1 + x²/a²)
= (1/a)∫ d(x/a)/[1 + (x/a)²]
= (1/a)arctan(x/a) + C <==公式∫ dx/(1 + x²) = arctan(x) + C

不明白你的过程，没有1/2的，那是1/a

Answer 3

这种基本题?

追问

基本题 上课没听 自己看 又看不懂 给讲下呗。。

追答

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